Τα φράκταλς στη ζωή μας-101 χρόνια από την γέννηση του Μπενουά Μάντελμπροτ

Listen to this

Σήμερα, 20 Νοεμβρίου, οι μαθηματικοί σε όλον τον κόσμο τιμούν τον άνθρωπο που άνοιξε ένα νέο παράθυρο στην κατανόηση της φύσης: τον Μπενουά Μάντελμπροτ, τον πατέρα των φράκταλ, με αφορμή τα 101 χρόνια από τη γέννησή του.

Ήταν γύρω στο 1975 όταν ο Γάλλος – πολωνικής καταγωγής – μαθηματικός εισήγαγε μια ιδέα που άλλαξε ριζικά τη θεώρησή μας για τον φυσικό κόσμο. Παρατήρησε ότι αμέτρητες μορφές στη φύση είναι τόσο ακανόνιστες και πολύπλοκες, ώστε η κλασική ευκλείδεια γεωμετρία αδυνατεί να τις περιγράψει. Ένα σύννεφο δεν είναι σφαίρα• ένα βουνό δεν είναι κώνος• μια ακτογραμμή δεν είναι μια λεία καμπύλη.

Μέσα από αυτή τη διαπίστωση γεννήθηκε μια νέα γλώσσα για τη φύση: τα φράκταλ.

Τα φράκταλ στη ζωή μας

Για όσους δεν ασχολούνται με τα μαθηματικά, η γεωμετρία μπορεί να φαίνεται άχρωμη και άνοστη — σχεδόν όπως τα λαχανικά στο πιάτο ενός παιδιού. Όμως από τη στιγμή που οι γεωμετρικές έννοιες εμπλουτίστηκαν με τη λογική των φρακταλ, το τοπίο άλλαξε. Αν παρατηρήσουμε ένα μικρό κομμάτι ενός σύννεφου, ενός κεραυνού ή ενός ανθρώπινου νεφρού, θα δούμε ότι η δομή επαναλαμβάνεται σε κάθε κλίμακα — από το πολύ μικρό μέχρι το πολύ μεγάλο. Πρόκειται για την περίφημη αυτοομοιότητα. Έτσι λειτουργούν οι ρωσικές μπάμπουσκες, έτσι λειτουργεί και η φύση.

Ο κεραυνός αποτελεί κλασικό παράδειγμα: μεγεθύνοντας ένα μόνο τμήμα του, βλέπουμε έναν μικρότερο κεραυνό. Το ίδιο συμβαίνει και με το κουνουπίδι, ένα από τα πιο όμορφα παραδείγματα φρακταλικής γεωμετρίας στο τραπέζι μας.. Στους ζωντανούς οργανισμούς, η φρακταλική αρχιτεκτονική εξηγεί πώς αναπτύσσονται τα νευρικά δίκτυα, οι πνευμονικοί βρόγχοι, οι αρτηρίες, ακόμη και τμήματα του εγκεφάλου.

Ο κεραυνός όπως και άλλα φυσικά φαινόμενα όπως το χιόνι, έχει τα χαρακτηριστικά ενός φράκταλ. Αν κάποιος πάρει ένα τμήμα και το μεγεθύνει βρίσκει ένα άλλο μικρότερο κεραυνό. Κάτι ανάλογο είδαμε και σε πρόσφατο θέμα μας με το νησί που έκρυβε μέσα του ένα άλλο νησί που και αυτό είχε μέσα του ένα… νησί !!!

Η δομή του κουνουπιδιού επίσης αποτελεί αντιπροσωπευτικό παράδειγμα αυτής της φρακταλικής γεωμετρίας στη φύση. Ολόκληρο το κουνουπίδι σχηματίζεται από μικρότερα αντίγραφα του ίδιου, παρατεταγμένα σπειροειδώς και το ίδιο μπορεί να κάνει στο διηνεκές παίρνοντας τμήμα του τμήματος. Στους ζωντανούς οργανισμούς τα φράκταλ δίνουν κανόνες και μοντέλα για το πώς αναπτύσσεται το νευρικό τους σύστημα, ο εγκέφαλος ή ακόμα και το σύστημα των αρτηριών και φλεβών.

Στην αυτοομοιότητα υπάρχει μια εσωτερική “οργανική” ευστάθεια που σχετίζεται με τη λεγόμενη “ολογραφία”, δηλαδή με την εγγενή οργάνωση αυτών των δομών. Όταν λέμε ότι “το νεφρό είναι ολογραφικό” σημαίνει ότι αν του αφαιρέσεις ένα οποιοδήποτε κομμάτι, το υπόλοιπο θα είναι το ίδιο τόσο οπτικά όσο και οργανωτικά, βιοχημικά και λειτουργικά. Αυτή η ευστάθεια, δηλαδή η δικτύωση πολλών βιολογικών μας δομών (πνευμονικοί βρόγχοι, φλέβες και αρτηρίες, νεφρά, συκώτι, ακόμη και το νευρικό σύστημα και εν μέρει ο εγκέφαλος) ίσως μας λέει κάτι σημαντικό για τη «γεωμετρική αναγκαιότητα» της δαρβινικής μας εξέλιξης, δηλαδή για τη φρακταλική μορφογένεση πολλών δομών στα ανώτερα και πιο πολύπλοκα ζώα. Η «φρακταλική» γεωμετρία ήρθε να γενικεύσει τις κλασσικές γεωμετρικές θεωρίες. Μέσω αυτής μπορούσαν πλέον να εξηγηθούν τα πολύπλοκα σχήματα που μέχρι και 40 χρόνια πριν δεν γινόταν ούτε να προσεγγιστούν. Σχήματα που αρκετές φορές προέκυπταν από την ίδια την φύση, η οποία είναι γνωστό πως έχει πολύπλοκο χαρακτήρα.

Ατμοσφαιρικές ροές: μια φρακταλική συμφωνία

Οι ατμοσφαιρικές ροές αποτελούν ίσως το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα φρακταλικής συμπεριφοράς. Οι τυρβώδεις κινήσεις του αέρα εμφανίζουν διακυμάνσεις σε όλες τις κλίμακες χωροχρόνου: από μικροστροβίλους που εξελίσσονται σε χιλιοστά του δευτερολέπτου έως τεράστια συστήματα που απλώνονται σε χιλιάδες χιλιόμετρα και διαρκούν ημέρες ή και χρόνια.

Παρότι η φύση των ατμοσφαιρικών ροών έχει μελετηθεί εκτενώς τις τελευταίες δεκαετίες, ο ακριβής μηχανισμός που γεννά αυτόν τον πολυεπίπεδο «χορό» παραμένει ένα από τα μεγάλα αναπάντητα ερωτήματα της φυσικής.

Όταν το άπειρο εισβάλλει στη γεωμετρία

Για αιώνες, η γεωμετρία ήταν συνώνυμη με την απλότητα: γραμμές, κύκλοι, τρίγωνα. Σχήματα καθαρά, όρια αυστηρά. Το «άπειρο» δεν είχε θέση σε αυτές τις έννοιες. Ωστόσο, με τη δουλειά του Μάντελμπροτ και άλλων πρωτοπόρων, η ευκλείδεια γεωμετρία έπαψε να είναι δόγμα. Νέες θεωρίες εμφανίστηκαν, ικανές να περιγράψουν μορφές «άγριες», ακανόνιστες, πολύπλοκες — τις πραγματικές μορφές της φύσης. Με τρόπο σχεδόν ποιητικό, η έννοια του απείρου εισχώρησε στη γεωμετρία και τη μετέτρεψε σε ένα εργαλείο που μπορεί επιτέλους να περιγράψει τον πραγματικό κόσμο.

Τα φράκταλς που επινοήθηκαν από τον Μπενουά Μάντελμπροτ ήταν η πολυπόθητη σύνδεση της γεωμετρίας, της επιστήμης του «υπαρκτού» και του «πεπερασμένου», με το πιο απέραντο στοιχείο των μαθηματικών. Φέτος συμπληρώνονται 15 χρόνια από τον θάνατό του μεγάλου μαθηματικού  . Ας τον  ακούσουμε σε μια από τις τελευταίες ομιλίες του να μας μιλά για όλα τα παραπάνω ….

Τα φράκταλ του Μάντελμπροτ αποτέλεσαν την πολυπόθητη σύνδεση ανάμεσα στη γεωμετρία του «υπαρκτού» και «πεπερασμένου» και στο πιο απέραντο κομμάτι των μαθηματικών: το άπειρο.Ο Μάντελμπροτ δεν ήταν απλώς μεγάλος μαθηματικός· ήταν αιρετικός οραματιστής. Το πάθος του για την οπτική διαίσθηση και η επιμονή του να κάνει τα μαθηματικά προσιτά σε όλους έκανε το βιβλίο του «Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης» σημείο αναφοράς για ειδικούς αλλά και για το ευρύ κοινό.

Η επίδρασή του επεκτάθηκε στη Θεωρία του Χάους, στην κοσμολογία και σε πολλούς άλλους τομείς.

Ο Μάντελμπροτ ήταν οραματιστής και “αιρετικός” Το ανεπίσημο και παθιασμένο στυλ γραφής του και η έμφαση που έδινε στην οπτική και γεωμετρική διαίσθηση την οποία εμπλούτιζε με την εισαγωγή πολυάριθμων εικόνων έκανε το βιβλίο του “Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης ” προσβάσιμο και κατανοητό και σε μη-ειδικούς. Το βιβλίο προκάλεσε ευρέως το λαϊκό ενδιαφέρον για τα φράκταλς και συνέβαλε στη εξέλιξη της Θεωρίας του Χάους και σε άλλους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών.

Ο σκοτεινός ουρανός και το παράδοξο του Όλμπερς

Ακόμη και στην κοσμολογία, ο Μάντελμπροτ είχε το θάρρος να αμφισβητήσει καθιερωμένες εξηγήσεις.

Προσέφερε μια νέα οπτική στο παράδοξο του Όλμπερς —το ερώτημα γιατί ο νυχτερινός ουρανός είναι σκοτεινός— υποστηρίζοντας ότι αν η κατανομή των άστρων στο Σύμπαν είναι φρακταλικού τύπου, σαν τη «σκόνη του Κάντορ», τότε το παράδοξο μπορεί να λυθεί ακόμη και χωρίς να καταφύγουμε αποκλειστικά στη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης.

Το μοντέλο αυτό δεν αναιρούσε το Big Bang, αλλά άνοιγε χώρο για μια διαφορετική ερμηνεία.. Έδωσε μια νέα εξήγηση στο παράδοξο του Όλμπερς (το αίνιγμα του “σκοτεινού ουρανού την νύχτα”), καταδεικνύοντας τις συνέπειες της Θεωρίας των Φράκταλς ως ικανές αλλά όχι αναγκαίες για την επίλυση του παραδόξου.

Διατύπωσε την άποψη ότι εάν τα άστρα έχουν κατανομή φράκταλ στο Σύμπαν (για παράδειγμα όπως η Σκόνη του Καντόρ), δεν θα είναι απαραίτητο να βασιζόμαστε στη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης για να εξηγήσουμε το παράδοξο. Το μοντέλο του δεν θα απέκλειε μια Μεγάλη Έκρηξη, αλλά θα εξηγούσε τον σκοτεινό ουρανό, ακόμη και αν αυτή δεν είχε συμβεί.

Η θεωρία του Χάους θεμελιώθηκε ως επιστήμη στον 20ό αιώνα, κυρίως μέσα από τη μετεωρολογία και το έργο του Lorenz, του ανθρώπου που ανέδειξε το «φαινόμενο της πεταλούδας». Ο Μάντελμπροτ, συνεχίζοντας αυτή την παράδοση, έδειξε πως η φύση είναι γεμάτη «ακανόνιστες κανονικότητες» — δομές που μοιάζουν χαοτικές αλλά διέπονται από βαθύτερους νόμους.

Οι εφαρμογές και η διεπιστημονική διερεύνηση τέτοιων φαινομένων επεκτάθηκαν σε όλες τις επιστήμες, ενώ η κατασκευή ισχυρών υπολογιστών επιτάχυνε τις εξελίξεις.

Ο Μεγάλος Μαθηματικός Benoit Mandelbrot, μετά από τους θεμελιωτές της θεωρίας του χάους εισήγαγε αυτή τη νέα αντίληψη για τη φύση καθώς παρατήρησε ότι πολλά σχήματα στη φύση είναι τόσο ακανόνιστα, η μορφή τους είναι τόσο περίπλοκη που η Ευκλείδεια  γεωμετρία δεν ήταν ικανή να τα περιγράψει.

Εδώ και μια δεκαετία είμαστε “φτωχότεροι” με την απουσία του και το λιγότερο που μπορούσαμε να κάνουμε, ήταν να γράψουμε αυτό το μικρό αφιέρωμα γι’ αυτόν.

Θεόδωρος Ν. Κολυδάς
Διευθυντής Τομέα Υδρομετεωρολογίας και Φυσικών Καταστροφών εργαστηρίου Assist Δημοκριτείου Πανεπιστημίου Θράκης – Mετεωρολόγος Star Channel – Πρώην Διευθυντής Εθνικού Μετεωρολογικού Κέντρου ΕΜΥ – Μέλος της Επιστημονικής Επιτροπής της Έδρας UNESCO Con-E-Ect

Πηγές :

• Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness, TED (2010)
• Hudson & Mandelbrot, Prelude
• Gomory, R. (2010). «Benoît Mandelbrot (1924–2010)», Nature
• Steve Olson (2004), “The Genius of the Unpredictable”, Yale Alumni Magazine
• Mandelbrot, The Wolf Prizes for Physics (2002)
• Mandelbrot, The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick (2012)
• BBC News – “Fractal mathematician Benoît Mandelbrot dies aged 85”
• Hemenway P. (2005) Divine Proportion: Phi in Art, Nature and Science
• Lesmoir-Gordon, N. (2010). Obituary, The Guardian
• New Scientist, 19 April 1997