TOP STORIES TOP VIDEOS Web TV Αρθρογραφια Κοινωνία Μετεωρολογία και Κλίμα

Μια άλλη γεωμετρία στη φύση στη ζωή μας και στον καιρό -Τα φράκταλς του Μάντελμπροτ

Σε έναν άνθρωπο που δεν ασχολείται με τα μαθηματικά, η επιστήμη της γεωμετρίας δεν μπορεί να προσφέρει κανένα ίχνος ενδιαφέροντος. Αυτό είναι απολύτως λογικό. Γιατί άλλωστε ένας κύκλος ή ένα τρίγωνο να αποτελέσουν αφορμή σοβαρής συζήτησης ή έρευνας; Ακόμα και για αρκετούς μαθηματικούς το γεωμετρικό κομμάτι των σπουδών τους είναι κάτι σαν τα λαχανικά σε παιδικό γεύμα. Αδιάφορα και άνοστα. Με τον καιρό όμως, το πεδίο της γεωμετρικής επιστήμης άρχισε να πλαισιώνεται από έννοιες ικανές να διεγείρουν την φαντασία.

Αν παρατηρήσουμε προσεχτικά ένα μικρό κομμάτι από ένα σύννεφο ή ένα μικρό τμήμα ανθρώπινου νεφρού, διαπιστώνουμε ότι η βασική γεωμετρική του δομή παραμένει η ίδια σε κάθε κλίμακα (από το πολύ μικρό μέχρι το πολύ μεγάλο). Οπως οι ρωσικές κούκλες μπάμπουσκα , έτσι υπάρχουν πολλά φυσικά αντικείμενα (φράκταλ) που διατηρούν τη βασική γεωμετρία τους σε κάθε κλίμακα. Αυτή την ιδιότητα, που οι μαθηματικοί την αποκαλούν “αυτοομοιότητα”  Ο κεραυνός όπως και άλλα φυσικά φαινόμενα όπως το χιόνι , έχει τα χαρακτηριστικά ενός φράκταλ. Αν κάποιος πάρει ένα τμήμα και το μεγενθύνει βρίσκει ένα άλλο μικρότερο κεραυνό. Κάτι ανάλογο είδαμε και σε πρόσφατο θέμα μας με το νησί που έκρυβε μέσα του ένα άλλο νησί που και αυτό είχε μέσα του ένα… νησί !!!

Η δομή του κουνουπιδιού επίσης αποτελεί αντιπροσωπευτικό παράδειγμα αυτής της φρακταλικής γεωμετρίας στη φύση. Ολόκληρο το κουνουπίδι σχηματίζεται από μικρότερα αντίγραφα του ίδιου ,παρατεταγμένα σπειροειδώς και το ίδιο μπορεί να κάνει στο διηνεκές παίρνοντας τμήμα του τμήματος. Στους ζωντανούς οργανισμούς τα φράκταλ δίνουν κανόνες και μοντέλα για το πώς αναπτύσσεται το νευρικό τους σύστημα, ο εγκέφαλος ή ακόμα και το σύστημα των αρτηριών και φλεβών.

Στην αυτοομοιότητα υπάρχει μια εσωτερική “οργανική” ευστάθεια που σχετίζεται με τη λεγόμενη “ολογραφία”, δηλαδή με την εγγενή οργάνωση αυτών των δομών. Οταν λέμε ότι “το νεφρό είναι ολογραφικό” σημαίνει ότι αν του αφαιρέσεις ένα οποιοδήποτε κομμάτι, το υπόλοιπο θα είναι το ίδιο τόσο οπτικά όσο και οργανωτικά, βιοχημικά και λειτουργικά. Αυτή η ευστάθεια, δηλαδή η δικτύωση πολλών βιολογικών μας δομών (πνευμονικοί βρόγχοι, φλέβες και αρτηρίες, νεφρά, συκώτι, ακόμη και το νευρικό σύστημα και εν μέρει ο εγκέφαλος) ίσως μας λέει κάτι σημαντικό για τη «γεωμετρική αναγκαιότητα» της δαρβινικής μας εξέλιξης, δηλαδή για τη φρακταλική μορφογένεση πολλών δομών στα ανώτερα και πιο πολύπλοκα ζώα. Η «φρακταλική» γεωμετρία ήρθε να γενικεύσει τις κλασσικές γεωμετρικές θεωρίες. Μέσω αυτής μπορούσαν πλέον να εξηγηθούν τα πολύπλοκα σχήματα που μέχρι και 40 χρόνια πριν δεν γινόταν ούτε να προσεγγιστούν. Σχήματα που αρκετές φορές προέκυπταν από την ίδια την φύση, η οποία είναι γνωστό πως έχει πολύπλοκο χαρακτήρα.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Χαρακτηριστικό κάποιων “χαοτικών” φαινομένων στη φύση, τα οποία εύκολα αναγνωρίζει όλος ο κόσμος, είναι η ραγδαία αλλαγή καταστάσεως, όπως ο σχηματισμός καταιγίδων, τα μπουρίνια, οι τυφώνες, οι οικολογικές καταστροφές και άλλες καταστροφές εν γένει. Εκτός από κάποια μεμονωμένα παραδείγματα χάους που πρότειναν γνωστοί μαθηματικοί στο τέλος του 19ου αιώνα (Poicare) και στο πρώτο ήμισυ του 20ού, η θεωρία του Χάους θεμελιώθηκε ως επιστήμη μόνο κατά το δεύτερο ήμισυ του εικοστού αιώνα στην Μετεωρολογία από τον Lorenz . Εκείνη την περίοδο δόθηκαν από μαθηματικούς και φυσικούς νέα και ιδιαίτερα ενδιαφέροντα παραδείγματα χάους, τα οποία αποκάλυψαν κάποιες κοινές σε αυτά τα φαινόμενα σχέσεις, ιδιότητες και θεωρήματα. Οι εφαρμογές και η διεπιστημονική διερεύνηση τέτοιων φαινομένων επεκτάθηκαν σε όλες τις επιστήμες, ενώ η κατασκευή ισχυρών υπολογιστών επιτάχυνε τις εξελίξεις.

Περί το 1975 ο Γάλλος, πολωνικής καταγωγής, μαθηματικός Benoit Mandelbrot, εισήγαγε μια νέα αντίληψη για τη φύση. Παρατήρησε ότι πολλά σχήματα στη φύση είναι τόσο ακανόνιστα, η μορφή τους είναι τόσο περίπλοκη που η Ευκλείδεια  γεωμετρία δεν είναι ικανή να τα περιγράψει. Ένα σύννεφο δεν είναι σφαίρα, ένα βουνό δεν είναι κώνος, τα παράλια μιας ακτής η ακτή δεν είναι μια λεία καμπύλη. 

Οι ατμοσφαιρικές ροές, ένα παράδειγμα τυρβώδους ροής ρευστού, εμφανίζουν φράκταλ διακυμάνσεις όλων των κλιμάκων χωροχρόνου που κυμαίνονται από κλίμακα στροβιλισμού σε χιλιοστά ή δευτερόλεπτα και φτάνουν σε κλίμακες χιλιάδων χιλιομέτρων ή χρόνια. Αν και η ίδια η φύση των ατμοσφαιρικών ροών έχει τεκμηριωθεί ευρέως και συζητήθηκε κατά τις τελευταίες τρεις έως τέσσερις δεκαετίες, το ακριβές φυσικό ο μηχανισμός δεν έχει ακόμη εντοπιστεί. Το «άπειρο» που στην αρχική, διαισθητική φύση της γεωμετρίας δεν είχε κανένα λόγο ύπαρξης, άρχισε να εμφανίζεται διακριτικά. Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν αποτελούσε πια δόγμα, ενώ ακόμα και τα βασικά της αξιώματα αμφισβητήθηκαν. Δημιουργήθηκαν καινούργιες θεωρίες που εξηγούν τον χώρο, εξίσου αποτελεσματικά. Με από… ατελείωτα χρόνια προσπάθειας, έγινε το τελικό βήμα. Η έννοια του απείρου εισχώρησε στο γεωμετρικό κόσμο, με τον πιο μεγαλοπρεπή τρόπο. Τα φράκταλς που επινοήθηκαν από τον Μπενουά Μάντελμπροτ ήταν η πολυπόθητη σύνδεση της γεωμετρίας, της επιστήμης του «υπαρκτού» και του «πεπερασμένου», με το πιο απέραντο στοιχείο των μαθηματικών.

Φέτος συμπληρώνονται 10 χρόνια από τον θάνατό του μεγάλου μαθηματικού  . Ας τον  ακούσουμε σε μια από τις τελευταίες ομιλίες του να μας μιλά για όλα τα παραπάνω ….

Please accept YouTube cookies to play this video. By accepting you will be accessing content from YouTube, a service provided by an external third party.

YouTube privacy policy

If you accept this notice, your choice will be saved and the page will refresh.

Ο Μάντελμπροτ ήταν οραματιστής και “αιρετικός” Το ανεπίσημο και παθιασμένο στυλ γραφής του και η έμφαση που έδινε στην οπτική και γεωμετρική διαίσθηση (την οποία εμπλούτιζε με την εισαγωγή πολυάριθμων εικόνων) έκανε το βιβλίο του “Η μορφοκλασματική Γεωμετρία της Φύσης προσβάσιμο και κατανοητό και σε μη-ειδικούς. Το βιβλίο προκάλεσε ευρέως το λαϊκό ενδιαφέρον για τα φράκταλς και συνέβαλε στη εξέλιξη της Θεωρίας του Χάους και σε άλλους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών. Ο Μάντελμπροτ επίσης εφάρμοσε τις ιδέες του στην Κοσμολογία. Έδωσε μια νέα εξήγηση στο παράδοξο του Όλμπερς (το αίνιγμα του “σκοτεινού ουρανού την νύχτα”), καταδεικνύοντας τις συνέπειες της Θεωρίας των Φράκταλς ως ικανές αλλά όχι αναγκαίες για την επίλυση του παραδόξου. Διατύπωσε την άποψη ότι εάν τα άστρα έχουν κατανομή φράκταλ στο Σύμπαν (για παράδειγμα όπως η Σκόνη του Καντόρ), δεν θα είναι απαραίτητο να βασιζόμαστε στη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης για να εξηγήσουμε το παράδοξο. Το μοντέλο του δεν θα απέκλειε μια Μεγάλη Έκρηξη, αλλά θα εξηγούσε τον σκοτεινό ουρανό, ακόμη και αν αυτή δεν είχε συμβεί.

Πηγές : Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness. ted.com (February 2010)
Hudson & Mandelbrot, Prelude, page xviii
Gomory, R. (2010). «Benoît Mandelbrot (1924–2010)». Nature 468 (7322): 378. doi:10.1038/468378a. PMID 21085164. Bibcode: 2010Natur.468..378G.
Steve Olson (2004). «The Genius of the Unpredictable». Yale Alumni Magazine.Mandelbrot, Benoît (2002). The Wolf Prizes for Physics, A Maverick’s Apprenticeship. Imperial College Press.Mandelbrot, Benoit (2012). The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick, Pantheon Books. «BBC News – ‘Fractal’ mathematician Benoît Mandelbrot dies aged 85». BBC Online. 17 October 2010.
Hemenway P. (2005) Divine proportion: Phi in art, nature and science. Psychology Press. ISBN 0-415-34495-6
Lesmoir-Gordon, Nigel (17 October 2010). «Benoît Mandelbrot obituary». The Guardian (London).
«”New Scientist”, 19 April 1997». Newscientist.com. 19 Απριλίου 1997. Ανακτήθηκε στις 17 Οκτωβρίου 2010.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *